2014年4月16日在北邮计算机学院第十八届科技节之科技大讲堂讲座
乔建永 校长
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各位老师，同学们，晚上好！
今天非常高兴围绕计算机科学对数学研究的影响同大家做一个交流。我这里所说的核心数学是指理论数学中最实质的部分，这是数学王国里面最神圣的一座殿堂。大家都知道，数学是一个古老而又长青的学科。这个学科的内容非常丰富，其中最神圣的殿堂称之为核心数学。它的圣神性到什么程度呢？有的数学家把它描述为——它唯一的目的就是为了人类心智的荣耀。人作为高级动物，它区别于低级动物的根本标准就是智力，核心数学在很大程度上是智力方面的竞赛。
大家都知道，计算机科学追根溯源应该源于数学。千百年来古老的数学默默地影响着人类的生产和生活。计算机科学从它成为一个完整的独立学科开始也不过五六十年的时间，然而就在这短短五六十年的时间里，计算机科学却以前所未有的高调，气势辉煌地影响着人类的生活，今天，没有计算机人类已经无法生活。我在这里不想介绍计算机是如何从数学起步逐步成长为一门学科的，也不想去讲计算机是如何影响人类的生产生活以及科技和文化的。我想讲的是，计算机科学成长起来后，如何反过来影响数学王国最神圣的地方——核心数学，以及它引发的数学界的震惊、分歧、怀疑和肯定。这是当前正在发生的事情，希望大家能够感兴趣。
谈到计算机科学对数学的影响，大家都会马上想到机器定理。上世纪五十年代，一些美国数学家，包括华裔数学家王浩等人，开始利用计算机研究罗素和怀德海的名著《数学原理》中一些定理的证明，取得了突出的成果。 此后在全世界范围之内，这方面发展的并不是很快。但是，从上世纪七十年代后期开始我国数学家吴文俊先生，还有张景中先生等，着手用计算机证明几何定理，在国际上产生了非常大的影响。这方面我相信在座的诸位都比较熟悉，因此，不再赘述。我今天要告诉大家的是，有两个古老数学猜想的证明对数学王国，尤其是我说的那座最神圣的殿堂，带来了极其深刻的影响。
一、两个古老数学猜想的证明
第一个称之为四色猜想，此猜想距今已经有162年。大约在1852年的10月，有一个刚刚大学毕业的英国青年在给一个地图着色，着色的基本规则是相邻的国家颜色不能相同。他在着色的过程中发现，不管多么复杂的地图只要四种颜色就足够了。他把这一发现告诉了他的一个正在大学读物理系的兄弟。他的兄弟求教于数学老师德•摩尔根教授。德•摩尔根教授很快发现这是一个非常好的数学问题。 虽然德•摩尔根不能在数学上给予证明，但他把这个猜想在数学界传播开来。
1878年，也就是26年以后，6月13日英国数学家凯莱正式在伦敦的一个数学会上提出了四色猜想，同时发表在会议的论文集上。史上第一次有文字记载的四色猜想就这样提出来了。然后，四色猜想的证明就如火如荼地展开了。第二年，一个叫肯泊的英国律师宣布证明了四色猜想，可惜人们很快发现他的证明错了。然后到了1890年，11年以后，有个叫希伍德的人证明了五色定理。我为什么要说肯泊的工作呢，因为肯泊虽然错了，但是在他的证明中有很多积极的因素。希伍德其实是吸收了肯泊的证明方法并加以修正，从而证明了五色定理。什么叫五色定理？就是说，虽然我们还不知道地图着色是否只需要四种颜色，但是，我们能证明五种颜色就足够了。 希伍德受到鼓励，从此献身四色猜想证明六十年，无果而终。然后是1890到1950年，许许多多的数学家都讨论过这个问题，但没有太大的进展。在这里我想向同学们介绍历史上一个非常有意思的小故事。俄罗斯大数学家闵科夫斯基有一天在讲课的过程中，突然转身对同学们说：四色猜想之所以没解决是因为大数学家没有参加，我现在就在黑板上演算给你们看，四色猜想是何等简单就可以给出证明。于是乎，他转身就对着黑板推导下去。推到一半之后，闵科夫斯基做不下去了，他说今天因为时间关系，下次课再来吧。 连续几次都没有完成他的推导。有一天，当他在课堂上全力推导四色猜想的时候，突然教室外狂风大作、雷雨交加。闵科夫斯基转过身来慢慢地说：同学们，上帝在惩罚闵科夫斯基的狂妄。此时，大数学家认识到了四色猜想的难度。
再后来有个重要的进展,1950年法国有个数学家希许，提出了“希许电荷法”，在四色猜想研究的道路上起到了重要作用。 “希许电荷法”为后来的证明奠定了基础，所以我在这里要提希许。在希许时代还有很多研究工作者,在这里都暂且不提。从1950年到1975年，四色猜想走入大众的视野，尤其是在西方世界已经科普化。1975年4月1号在《科学美国人》的杂志上刊登了一张愚人节图片，这个图片娱乐说四色猜想是错误的。当然，它只是愚人节的一个笑话而已。这说明那个时候四色猜想已经相当普及了。到了1976年，两个美国人阿贝尔和哈肯用计算机证明了四色猜想。阿贝尔和哈肯的证明基础是“希许电荷法”。所以说希许在这中间做了相当大的贡献。他们的证明出来之后，立刻得到社会上的认可。其中有一个标志是1976年美国伊利诺地方邮局的邮戳上的纪念文字：“Four colors surfice”。因为我们是邮电大学，所以我对这件事非常感兴趣。我甚至把它认为是社会上认可阿贝尔和哈肯证明的一个标志。但是，我必须说，阿贝尔和哈肯的证明在数学界有非常大的争论。争论主要集中在如下几个方面：第一，怎么去检验阿贝尔和哈肯证明的正确性，因为他们用自己的程序工作了四年，花费了1200个计算机小时，检查了三千多个数学结论。谁去帮他们检查正确性，如果原封不动地复查的话，我们任何一个同学这四年大学就要一直干这件事。我想没有人愿意拿青春去赌这个问题的正确性。第二，在阿贝尔和哈肯这里“数学证明”这四个字已经发生了突变。什么是“数学证明”，我们可以给很多严谨的定义。我们可以说，它是欧几里德式的推导等，这些都不重要。我觉得重要的是约定俗成的两个方面，第一，这个证明可以长，但是不能太长。任何一个人要在生命周期里能够读完你的证明，你不能说，老子读完后儿子读，儿子读完后孙子读，三代人共同把这个证明读完，这是肯定不行的。现在数学界也有一些很好的长文章，但是长文章至少能让一个人在两三年里把它读完，否则没人愿意去读。第二，证明写出来后能够用人的脑袋去检查，而不是借助于其他东西，比如计算机。有人说得非常极端，计算机输进去一个东西，产出一个东西，中间出现了什么我怎么知道？因此，数学界对此是不满意的。我刚才说的数学最古老最神圣的殿堂里的那些“方丈们”是不买账的。因此，问题出来了，数学家希望寻找四色猜想的“标准证明”！
我要介绍的第二个古老猜想是开普勒猜想，这个猜想的命运比四色猜想视乎要好得多。这个猜想也称为球堆积猜想，距今已有424年，它的神圣程度比四色猜想还要来得猛烈。大约是在1550年的某一天，英国有个爵士萝莉在考虑自己船队出海时船上炮弹摆放的方式时求助于英国的数学家哈里耳特。他其实考虑的问题是：如果在我的船上码放了一些炮弹，对方能否通过炮弹堆放的高度判断我有多少炮弹？哈里耳特很快给出了解答。当哈里耳特进一步研究这个问题时发现，这是一个很好的数学问题。这个问题具体来说就是：怎样码放球体使其占用的空间最小？紧接着，哈里耳特写信把这个问题告诉了德国的天文学家开普勒。开普勒对这个问题非常感兴趣，进行了细致深入的研究。开普勒于1611年正式提出猜想：当大小相当的球体按照“面心晶体”的形式并且最底层摆成六角形时，它们占用空间最小，对空间的利用率超过74%。后来人们把这个猜想称作开普勒猜想。
开普勒猜想涉及一个概念：面心晶体，其实面心晶体就是水果店老板摆放橘子的方式，就是把上一层的橘子放在下一层橘子彼此相邻的凹处。因此，开普勒猜想拿到水果店老板那里去并不值钱，他们会认为数学家是个傻瓜，这种摆放方式显然是最好的，还需要证明吗？任何一堆球体摆放的方式有无穷多种，你怎么证明这种方式是最节约空间的？这实际上是对人类智力的一个挑战。开普勒猜想的提出吸引了许许多多的数学家参与讨论，希望从理论上用逻辑推导的方式证明这种摆放方式的最优性。第一个有价值的证明是1831年数学家高斯给出的。他证明了对某一类规则形状的摆放，开普勒猜想是正确的。1900年大数学家希尔伯特将开普勒猜想正式列入二十三个未解决的数学难题。在当时新世纪的门槛上，希尔伯特提出著名的二十三个问题，此后引领全世界的数学发展了一百年。这二十三个问题基本上是过去一百年全世界数学研究的引擎，由此可以看出开普勒的猜想有多么重要。从1900年到1953年，有个匈牙利的数学家托斯，他得到一个结论：开普勒猜想的证明可以被归纳为有限多种情况加以考虑。可惜这个有限次数过于庞大，人类的脑力无法迄及。这就为后来计算机的证明埋下了伏笔。所以说，为什么开普勒猜想的结局要比四色猜想的结局要好，原因就是托斯的工作。托斯的工作已经把数目列出，虽然数目庞大，但是今天计算机的速度完全有可能进行证明。
再下来就是托马斯•海尔斯的证明。从1992年开始，美国密西根大学的托马斯•海尔斯等按照托斯的思路用计算机对开普勒猜想进行了研究。有人说他们用了六年，也有人说他们用了十年还多，他们在1998年宣布完成了猜想的证明，但这时候托马斯•海尔斯已经到了匹斯堡大学。托马斯•海尔斯的证明由计算机证明加上逻辑推导两部分组成，整个论文共计二百五十页的文稿，十万行左右的计算机程序代码，3GB的计算机程序和运算结果。由于这个证明的基础是托斯的结果，故可信度比较高。《Annals of Mathematics》在第一时间同意刊登托马斯•海尔斯的证明，这是历史性的，因为这个杂志在数学界具有崇高的地位。这个杂志聘请托斯的儿子担任评审委员会的负责人，开始进行评审。这个评审开始是为了防止出现四色猜想的尴尬境界，但是六年之后，评审委员会决定放弃证明的检验，因为检验工程太庞大，六年只检查了一小部分。无奈之下，《Annals of Mathematics》提出发表时加一条免责条款：本证明大部分，但非全部，被验证过。因遭到许多数学家的批评而未实施！最后《Annals of Mathematics》决定刊登已经用传统方式验证过的证明部分，舍弃计算机验证的部分。
不管怎么样，有很多人认为开普勒猜想的证明是正确的，也有很多人不赞成。四色猜想的证明在审稿过程中不断地发现错误并更正，而开普勒猜想的证明没有出现这种现象。很多人认为它是正确的，但是不喜欢它，最典型的是普林斯顿大学的数学家康威教授，他说他感觉不到究竟发生了什么，看不到证明的过程。也有些乐观的人说，计算机既然可以打败世界象棋冠军，为什么就不能战胜数学家呢？为什么数学杂志只能发表数学家的论文而不能发现计算机的论文呢？这个说法也是有挑战性的。一些人认为，相对于传统数学，新潮数学已经悄然出现，这种新潮数学最明显的标志就是逻辑推导加入计算机辅助运算，二者合并起来对数学定理进行证明。当然也有人调侃，这样就会把数学变成一个“三明治”！古老的数学是一个面包，完整的欧里德式的推导，如果中间夹杂着计算机的辅助岂不成了“三明治”。这个东西是好是坏，面包和三明治谁更有生命力尚在争论中。我个人的观点是，无论三明治好与不好，三明治的销量会越来越大，这是不以人的意志为转移的发展趋势。
二、数学正从后台走向前台
我想说，正是计算机科学的蓬勃发展，使得数学开始从人类生活的后台慢慢向前台走过来。大家都知道，1901年诺贝尔奖委员会把第一块奖章颁发给了实验物理学家伦琴，因为他发现了X射线。有人问这位杰出的实验物理学家，一个伟大的科学家需要的基本素质是什么？伦琴说：第一是数学，第二是数学，第三还是数学。实验物理学家对数学的认识尚且如此，和理论相关和数学相关的科学家的理解只能是更为深刻。比如说爱因斯坦，他曾说：我坚信能用纯数学的构造来发现概念及把这些概念联系起来的定律，它们是理解自然现象的钥匙。还有同学们比较熟悉的现代计算机之父冯•诺依曼，他曾说：数学处于人类智能的中心领域，数学方法渗透进、支配着一切自然科学的理论分支，它已经成为衡量一切成就的主要标志。这些都说明数学对人类生活，尤其是对科学技术的影响是非常深刻的。但是，我开始就说过，这种影响是默默的，而不是像计算机科学那样是显性的，是势如破竹的，是一路浩荡的。事实上，数学往往是通过其它学科来影响人类生活，公众对数学一般都是肯定的，但是这种肯定是带有神秘感的，不是因为了解它而肯定它，而是因为读不懂它而肯定它。
因此说，数学一直是在后台影响人类的生活。近年来，计算机的蓬勃发展开始带动数学从后台走向前台。有些人可能要说：你这么说是不是有点空泛？下面我从三个方面说明数学开始从后台慢慢走向前台。
第一，数学语言的普及速度在加快。
大家都知道，数学之所以有今天这样的成效，首先得益于它有独特的语言。如果数学没有它特制的语言不可能有今天这样的影响力。1965年诺贝尔奖得主费曼说：如果没有数学语言，宇宙似乎是不可以描述的。开普勒曾说：对于外部世界研究的主要目的在于发现上帝赋予它的合理次序与和谐，而这些是上帝以数学语言透露给我们的。我们在这里理解的上帝就是大自然。还有,伽利略也说过:展现在我们眼前的宇宙像用数学语言写成的大书，如果不掌握数学符号语言，就像在黑暗的迷宫里游荡，什么也认识不清。这就是一些大科学家对数学语言重要性的理解。实际上随着经济全球化和社会信息化进程的加快，社会的数学化程度正在日益提高。数学语言已经逐渐成为人类存储信息的重要手段，比如，大家熟悉的小波分析，实际上源于数学的傅里叶分析，它可以把存储图片和声音的效率提高二十倍以上，已经成为通信技术的重要突破。
另外，很多过往比较生涩的数学语言已经变成大众的交流语言，比如，正弦曲线、抛物线、正态分布、布朗运动、突变理论、非线性，等等，这些词汇实际已经成为公众词汇。在大学校园里，如果你听不懂这些词汇，有可能和别人交流都有困难。甚至在一些公关场所，这些词汇也已经成为普罗大众的社会语言。这就说明数学已经从后台走向前台，为普通大众所接受。
为了说明数学语言的有效性，我再介绍一个有趣的例子：在一个硕大无比的广场中间有一个灯柱，一个喝得烂醉的醉鬼靠在灯柱上，呆若木鸡。突然，他想走几步。大家可以想象，他的行走轨迹必然是折线，我们不妨把组成折线的每一段直线段称为路径。如果要求对这种行为进行描述，我觉得小说家不会有兴趣，因为醉鬼脑子一片空白，没有思想活动，没有太多可描述的东西。但是，有了数学语言以后，这个行为会变得非常深刻，比如说这个现象我可以叙述为一个无序定律：醉鬼走一会儿后停下来，他距离灯柱最可能的距离为折线路径的平均长度乘以路径段数的平方根。 多么深刻而又生动的描述啊！如果没有这些数学语言，这个定律是无法描述的，这就是数学语言的神奇之处。有的同学会说，这个定律是不是你编造的？其实不是，这是统计学中的一个重要定律，为了便于大家理解，我把它说成一个醉鬼走路的模型。实际上把这个定律运用到物理学中可以研究热分子的布朗运动。
第二，数学思维普及的速度在加快。
除了语言，数学还有思维的独特性。1914年诺贝尔奖得主麦克思 冯劳厄说：数学是思维的工具。我个人认为，数学之所以能称为思维的工具，主要是因为有三大优势：第一个是高度的抽象性，第二个是逻辑的严谨性，第三个是表现形式的辩证性。什么叫抽象性？很多人其实是喜欢抽象的，只是他们不知道什么是抽象罢了。比如说爬山，我们从山脚下沿着一条羊肠小道向上爬，在这个过程中，有花草，有树木，有怪石，实际上这些美妙的部分把最主要的东西都掩盖掉了，等我们到达山顶往下看的时候才发现，原来我们走的是这样一条路？！它可能和你脑子里想象的路径完全不一样。为什么，因为到山顶你已经实现了抽象，抽象是什么，抽象就是走向山顶。没有人不喜欢从山顶往山下看，因为人们天生喜欢抽象，无非是你自己不知道你在抽象而已。第二，逻辑的严谨性，这是数学思维的一大特点。数学证明一般是以某个定理为基础推道出新的定理，以过去的研究成果为基础产出新的研究成果。假如某个定理出现问题，那么它后面的定理就全部完了。数学的严谨性保证了数学王国里几乎没有多少错误。这就是数学的严谨性带来的优势，如果没有这一点，今天的数学大厦是没有人敢进去的，因为没有人知道什么时候会垮下来。而许多其它学科并不是这样，那里可能三五年就会颠覆很多东西。第三，表现形式的辩证性。有些同学对此不以为然，认为搞数学的人都是比较死板的，怎么会有辩证的说法呢？实际上这也是一个误区。就拿我国数学家陈景润来说，他关于哥德巴赫猜想的研究不仅很重要，而且充满了辩证思想。大家都知道，哥德巴赫猜想是说，任何一个大于6的偶数可以分解成两个素数之和，俗称“1加1”。陈景润在攻克“1加1”的过程中，在难以取得完胜的情况下退而求之，证明了：任何一个大于6的偶数可以分解成一个素数加上两个素数的乘积，俗称“1加2”。这种迂回而进的思路是么多大的辩证法啊！
另外，我还想举个例子说明数学思维的重要性。大家都知道，爱因斯坦在人类历史上首次提出狭义相对论。我一直认为，狭义相对论是爱因斯坦天才脑瓜的创造。狭义相对论提出之后，俄罗斯的数学家闵可夫斯基就用四维空间的演算来解释狭义相对论，很快受到爱因斯坦的重视。爱因斯坦开始研读闵可夫斯基的工作，在此基础上推演出广义相对论。这是最典型的数学思维。爱因斯坦之所以说可以用纯数学的办法发现自然科学的规律，很大程度上因为，他借助数学实现了他本人从狭义相对论到广义相对论思维上的飞跃。实际上，英国数学家、哲学家怀特海早就说过：在今后2000年内，在人类思想领域里具有压倒性的新的情况将是数学的理解问题占统治地位。今天随着信息化程度的加快，人们普遍认为怀德海所预期的这样一种数学理解问题的思维方式，已经来到世界上，或者说正在实现之中。早在1984年，美国一个专门委员会在给总统的报告里就提出，扫除数学盲的任务已经代替了昔日扫除文盲的任务。这说明在现代社会里数学思维不仅仅科学家需要，公众也同样需要。我举一个例子，比如说有个地方出现了火灾，一个没有数学思维的人看到失火现场以后会说：火特别大，人距离近了受不了！这一信息可以传递下去，但比较模糊。而具有数学思维的人会说：过火面积2000多平米，火苗高度大约2.5米，周围全是易燃材料，现在抢救已经没有经济价值了。信息的精准性直接关系到火灾的抢救和后续处理方式。由此可见，数学思维是相当重要的。
第三，数学的可视性速度在加快。
前面我讲了两个方面，一个是数学语言的普及性在加快；第二个是数学思维的普及性在加快。其实它的可视性速度也在加快。同学们或许知道分形的概念，屏幕上展现的就是四幅分形图。如果几十年前有人说这些图像来自于数学，听众绝对不会相信！那时它们会被当成美术学院的作品，或者是民间艺术大师通过某种方式创作出来的艺术品。但是，今天它已经实实在在的成为数学研究的产出品，甚至是核心数学必不可少的辅助图像。有同学可能要问：这究竟是什么东西啊？我们在科普画报、科普杂志上一定看到过，它们实际上是非线性科学展示复杂性的图片。同学们在中学时都学过平面几何，我们在做平面几何题的时候往往要作一些辅助线。很多同学说自己最怕平面几何，因为不知道怎么做辅助线。我有一个技巧，告诉你一定会有用：如果画一条线可以使几何图形更美，那么这条线极有可能就是辅助线。你们如果有兴趣，可以拿几道平面几何题试试我这个定律是否好使。
我经常想，这些美丽的图片的出现，除了推动数学、推动其他自然科学的分支向前发展以外，还为一些数学家平了反，为一些古代的或者说几十年前的数学家平了反。为什么这样说呢？曾几何时，几十年前，上百年前，一些数学家思考数学问题达到巅峰的时候，突然从他的书房、教室、实验室冲出来，像疯子一般地说“我看到了，非常美丽！我看到了，非常美丽！”接着此人被送进了疯人院，大家说这个人不正常。因为他“看”到了难以表达的东西，别人无法理解。同学们，假如当时他告诉你他看到了这些图片而兴奋，并且能够把这些图片展示给你，我觉得任何人不会认为他是一个疯子，而会赞同他的兴奋。可惜当时他没有办法，也没有途径向人们描述图片是如此的美丽。因此我说，今天这些美丽的图片给那些被当成疯子的数学家平了反。很多人说，现在的数学已经摆脱了过去一张纸、一支笔的和一个脑袋的局面，正是计算机科学的发展把数学带进了实验数学的新时代。现在很多人，包括那些不愿意承认所谓新潮数学的人，或多或少地都在使用计算机。到目前为止，数学研究上使用计算机最多的地方还是验算，有一种数学想法后，就先用计算机来做一个实验，就如同我们过去没有计算机的时候也会用纸和笔去验算几次看看效果一样。下面，我向同学们简要介绍一下我本人最近十来年来做的一项研究工作，同计算机有一些关系。
1952年，杨振宁和李政道研究统计力学中的二维格气模型，证明了著名的圆周定理。你不用管它是什么，知道有这样一个模型和定理就行了。这个定理说，此模型配分函数零点的极限集一定聚集在一个圆周上。多么漂亮的单位圆定理啊！为什么这个定理非常著名呢？因为它和相变有关，统计力学一个重要研究任务就是寻求相变点。水在零度结冰，一百度沸腾，零度和一百度就是相变点。杨振宁和李政道定理中圆周同正实轴的交点对应相变点，因此，得到了非常大的重视。杨振宁和李政道在这篇文章里还同时提出了一个问题：对于其他模型，配分函数的零点的极限集究竟如何分布？这就是1952年他们提出来的Yang-Lee问题。我相信，当时很多人希望也有圆周定理类似的分布，这是多么美妙的事啊！但是，事实远没有这样简单。
从1952年一直到现在，有大量的文章在研究Yang-Lee问题。2011年，我们有一项研究工作，发现一种模型，这个模型配分函数零点的极限集的分布不仅不可能这么简单，而且要复杂得多。我们把它称之为Feigenbaum型分布。Feigenbaum型分布是什么呢？我们在文章中利用了复杂的数学理论和语言对此进行了精确描述，其中既有非常前沿的数学概念，也有十分生涩的数学定理。必须承认，单纯从数学描述上看， Feigenbaum型分布非常不好玩。后来，我们花了很多精力用计算机模拟出了Feigenbaum型分布的图片，这个图片对应杨李定理中的圆周，你看，这个分布是多么的复杂和美丽，复杂并不影响美丽么？！有了计算机复杂的东西也可以美丽起来！别忘了，是计算机让我们睁开了眼睛，看到了我们过去用肉眼看不到的全新的景色，这就是实验数学带给我们的红利。
实际上，现在大量实验室里不能做的实验已经通过计算机来完成了。比如，天文学中超新星的爆发过程，地质学中的地壳运动过程，分子生物学中大分子的复杂行为，还有核爆炸过程，等等。早在1981年美国就发表了一篇题为《进一步繁荣美国数学》的报告，这个报告里有这样一句话：高科技的出现把我们的社会推进到数学工程技术的新时代。这里面还有一句非常肯定的话：高技术本质上是一种数学技术。现在很多经济学的前沿研究问题也是数学研究问题。大家知道，数学没有诺贝尔奖，很多诺贝尔经济学奖得主其实是数学家。这是我想说的第二个方面，数学在计算机科学的影响下正在从后台慢慢地走向前台。
三、充满传奇的数学家
我感觉，讲数学如果不讲数学家就如同喝蜂蜜不知道蜜蜂的存在一样，说蜜蜂就说那些飞翔在绚丽花海中的蜜蜂。 按照欧几里德式的论述，首先要给数学家一个定义，但这个定义有难度！难度在哪里呢？在中国，数学家是一个极端崇高的称呼，一般很少有人称自己是个数学家，更不要说是著名数学家了。谁都不愿意这样说，这是中国式的谦虚。而英文里数学家和数学工作者是一个词儿，这样一来，就很难给数学家一个准确的定义。不过，我们大可不必纠缠于数学家的定义，不防问一问：现在全世界究竟有多少数学家？有资料说美国大概有600人，法国有150人。还有人说，1000万自然人里产生一个数学家的可能性比较大。
我刚才说了，数学没有诺贝尔奖，有菲尔兹奖，菲尔兹奖号称是数学的诺贝尔奖。为什么数学没有诺贝尔奖？据说，历史上有个叫拉弗勒的数学家，他莫名其妙地同诺贝尔的女友产生了恋情，因此诺贝尔奖没有数学奖。这个传说我不知道是不是真实，但是，这种说法的的确确不断在流传。中国是个数学大国，但不是个数学强国。中国研究数学的人很多，但是登顶的人并不多，华人中仅有两位获得菲尔兹奖，一位是丘成桐，哈弗大学的教授；第二位是年轻的陶哲轩教授，2006年获得菲尔兹奖。下面我想介绍一些传奇数学家，通过他们的传奇表现，我们可以窥见数学精髓的光芒。希望同学们能够从他们的人生轨迹中，看到数学非常璀璨的一面，尤其是我开始说的数学王国里最神圣的那个殿堂里面焕发出的智慧光芒。
第一位我想向大家介绍的是Erdos P.，匈牙利数学家，1996年去世，享年83岁。据说，此人是个传奇般的神童，3岁可以心算3位数的乘法，4岁自己悟出了正数和负数的概念，17岁进入大学，21岁就获得了博士学位，此后到英国去做博士后，在那儿干到了25岁。25岁以后，他就在世界各地进行旅行式研究，号称从未在一个地方停留过一个月以上，疯狂地在世界各地访问。此人没有其他任何爱好，没有妻小，完全迷恋于数学，人称数学的苦行僧，同他合作的数学家超过250多人次，这是数学家之最。他的主要兴趣：数论，集合论，组合数学，图论，概率论，数理逻辑等，是世界上最全面的数学家之一。有人预测：世界上再也不会有Erdos这样的全才数学家了！
第二位是Galois E.，法国数学家，1832年去世，年仅21岁，据传说，他死于为了爱情的决斗。Galois E.中学后并不顺利地考取大学，后被校方开除。但他在数学上的天赋和勤奋出类拔萃，在如此曲折而又短暂的生命旅途中，他创立了群论——这一划时代的重大理论。但当时并没有人理解和认可他的研究成果，直到他死后几十年，他的成果才得到后人的肯定。
第三位Ramanujan S.，印度数学家，1920年去世，年仅33岁。这是一个罕见的数学神话，Ramanujan S.自幼家境贫寒，但对数学产生了强烈兴趣。17岁考上大学，由于偏科没能毕业。此后一边为生计奔波一边钻研数学。25岁时在朋友的鼓励下冒然给大剑桥大学哈代教授写信，得到哈代的高度赞赏。从此，他同哈代合作，在数论方面开展了大量创造性研究。据说，Ramanujan S.的数学悟性如同神仙，可以说出很多定理，别人却无法证明。现在他留下的笔记中仍有大量数学定理和公式等待证明。
第四位von Neumann，John, 匈牙利人，数学家, “现代电子计算机之父” 。1903年生于匈牙利，父亲是一个银行家，家境十分富裕。von Neumann从小聪颖过人，6岁可心算8位数除法,8岁掌握了微积分。他兴趣广泛，读书过目不忘。据说他6岁时就能用古希腊语同父亲闲谈，一生掌握了七种语言。最擅德语，可在他用德语思考种种设想时，又能以阅读的速度译成英语。他对读过的书籍和论文能很快一句不差地将内容复述出来，而且若干年之后，仍可如此。 他22岁获得数学博士学位, 成为美国普林斯顿大学的第一批终身教授时还不到30岁。1954年他任美国原子能委员会委员；曾任美国总统艾森豪威尔的智囊团成员。
最后，我介绍一位当代数学家，名曰Zeilberge D.。他1950年生于以色列，1976年获得博士学位后到美国去教书，此人最大的贡献是解决了一个号称组合数学中的黎曼猜想的问题。据说，他只对数学有兴趣，其它别无兴趣。如果你要给他发电子邮件，必须加上三个英文字“Math is fun”，否则他是收不到的，因为他为自己的邮箱设置了一个过滤，其它的邮件将被认作垃圾邮件。他不喜欢开汽车，喜欢坐火车，他认为坐火车可以思考数学问题。
你如果有兴趣可以上网查一查，当今数学界有个叫Shalosh B. Ekhad的作者，已经发表了几十篇数学论文。 一些论文是Ekhad独立署名，还有一些论文是 Ekhad和Zeilberge联合署名。有人问Zeilberge： Ekhad是谁？Zeilberge回答说：我是 Ekhad的导师。Ekhad究竟是什么人？我现在告诉你：Ekhad不是人，Ekhad只是Zeilberge操作的一台计算机！Zeilberge坚持认为，在他的一些工作中计算机做出了更重要的贡献，或者几乎是计算机做出的贡献，因此他让计算机独立署名。
以上几位是数学家的杰出代表，智慧而执着，勤奋且简单。同学们，不知道你们是否已经体会到他们身上焕发出的人性和智慧的光芒？但请大家记住，他们中的领跑者的信仰永远是：为了人类心智的荣耀。
我今天就讲这么多，谢谢大家！
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